La fondation mathématique
Nous commençons par l'équation générale de conduction thermique, qui exprime la conservation continue de l'énergie dans un milieu physique :
$$\frac{\partial}{\partial x} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( k \frac{\partial u}{\partial z} \right) = c \rho \frac{\partial u}{\partial t}$$
Ici, $u(x, y, z, t)$ représente la répartition de température, tandis que $k$, $c$ et $\rho$ représentent les propriétés physiques du milieu. Bien que cette équation soit élégante, ses coefficients variables la rendent souvent intraitable analytiquement.
La simplification de l'isotropie
Pour franchir le pont vers la computation, nous utilisons une contrainte simplificatrice principale : l'hypothèse d'un corps isotrope.
Un corps est isotrope si la conductivité thermique en tout point du corps est indépendante de la direction du flux de chaleur à travers ce point.
Sous cette hypothèse, $k$ devient une constante par rapport aux dérivées spatiales, ce qui nous permet de simplifier la loi régissant en forme bien connue forme de Laplacien:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{c \rho}{k} \frac{\partial u}{\partial t}$$
Le pont vers la réalité
Considérons une longue barre fine en cuivre de longueur $l$. Bien que le calcul différentiel nous permette d'écrire l'équation aux dérivées partielles du second ordre élégante pour sa répartition de température, toute variation dans l'environnement de la barre ou dans sa source interne de chaleur rend une solution « à la main » presque impossible. Le passage à la computation est rendu nécessaire par la nécessité de résoudre ces équations sur des géométries du monde réel qui n'admettent pas de solutions analytiques fermées.